Paradoxen

Eerste Paasdag in Huize Zeikwijf. Oudste zoon is er en legt een voor mij nieuw woord uit: autologie. Volgt een boeiende discussie van enkele uren die ik jullie niet wil ontzeggen. Over logica. (Let wel: ik ben geen logicus, verre van. Dus reacties welkom. Schiet mij maar lek. Bob-de-Duitser vooral. Die kan dat, zulke stukken fileren.)

Een heel mooi woord, autologie. Een autologie is een woord dat zichzelf beschrijft. Zoals “kort” of “Nederlands”, en zelfs “autologie”. Het tegenovergestelde is een heterologie. Een heterologie is een woord dat zichzelf niet beschrijft. Zoals “lang”of “Engels”. “Maar dan komt ie: is heterologie een heterologie? Het voor de hand liggende antwoord is nee: het woord omschrijft zichzelf en is dus een autologie. Maar als heterologie een autologie is, dan omschrijft het zichzelf dus niet en is het toch een heterologie. Maar als het zichzelf wel omschrijft, is het een autologie. Terwijl het dat dus niet is. Dat is paradoxaal. Eigenlijk is dit een woordelijke variant van, of in iedere geval vergelijkbaar met een paradox uit de logica, genaamd de paradox van Russell, een paradox in de set-theorie.

De set-theorie  is van Cantor, een logicus uit eind 19de, begin 20ste eeuw, die – zoals opmerkelijk veel van zijn collega logici uit die tijd – uiteindelijk gek is geworden. De set-theorie, meen ik te begrijpen, gaat uit van “sets” van dingen. Bijvoorbeeld:
– de set van even getallen: daar zitten alle even getallen in;
– de set van al het eten dat ik lekker vind: daar zit al het eten in dat ik lekker vind;
– de set van alle dingen die zelf een set zijn: daar zitten bovengenoemde sets dus in.

Nu de vragen:
Vraag: Stel we noemen de set van alle dingen die een set zijn set C. Zit set C in zichzelf? Het antwoord is ja.
Vraag: Stel we noemen D de set van alle sets die NIET in zichzelf zitten.
– de lege set: daar zit niets in, dus die zit niet in zichzelf
– de set van alles, die zit wel in zichzelf
en D zelf, de set van alle sets die niet in zichzelf zitten, zit die in zichzelf?
Dat is de paradox van Russell.

Hoe beantwoord je die vraag? Door alle antwoorden te nemen, en aan te tonen dat ze in conflict zijn met elkaar.
1 – antwoord JA: set D voldoet aan de eigenschappen van zichzelf. Dat kan niet, want hij is juist de set van alle sets die niet in zichzelf zitten.
2 – antwoord NEE: Stel, de set zit niet in zichzelf. Dan heeft hij de volgende eigenschap: het is een set die niet in zichzelf zit. Maar als D dat niet is, waar zit D dan in? In set E: de set die alle sets bevat de sets die niet in zichzelf zitten, zoals D. En dát is een contradictie: we hebben juist vastgesteld dat D geen D is. Kortom: als het noch JA noch NEE kan zijn dan is het een paradox, want een vraag waar geen antwoord op mogelijk is.

Doordat Russell met die paradox kwam moesten de logici/wiskundigen een nieuwe definitie maken van de set-theorie. Russel was dus geniaal als u het mij vraagt. De eerste definitie van de set-theorie was niet precies genoeg, niet consistent, omdat je paradoxen kunt beschrijven binnen de theorie. Toen hebben die logici de set-theorie opnieuw gedefinieerd met zes basis-axioma (de Zermelo-Fraenkel-axioma ook wel ZFC genoemd). Er zijn er eigenlijk zeven, maar de zevende is controversieel (lang verhaal, laat maar). Een van die axioma’s is bijvoorbeeld de nulhypothese: “Er bestaat een set die geen elementen bevat”.

Even een zijsprong. Als we stellen dat:
– sociologie eigenlijk toegepaste psychologie is;
– psychologie toegepaste biologie;
– biologie toegepaste scheikunde;
– scheikunde toegepaste natuurkunde;
– natuurkunde toegepaste wiskunde;
– en je de hele wiskunde kunt opbouwen vanuit de set-theorie…
dan is de set-theorie eigenlijk de uitleg van ALLES, en kun je niet anders dan vaststellen dat Cantor een van de geniaalste mannen ter wereld was.

Want is biologie niet een grote conclusie van scheikunde? Al het leven hangt immers aan elkaar van chemische processen. De biologie introduceert niets nieuws, er zijn er geen axioma’s. Alles hebben ze afgekeken van de scheikunde. Als je alles in termen van scheikundige processen ontleedt, kun je een heel leven voorspellen. Om te beginnen dat van een mier, of nog beter: van een amoebe, maar ook van een mens, want, zeg nou zelf, zijn we niet, scheikundig gezien, niets anders dan enorm uitgevallen protozoën? Scheikunde op haar beurt is volledig af te leiden van natuurkunde, en natuurkunde kun je in haar geheel modelleren op wiskunde. Zo zoeken ze in de natuurkunde naar een “unifying theory”. Eerst had je allerlei theorietjes over van alles en nog wat. Maar steeds meer konden ze die theorieën terugvoeren op één deelgebied: magnetisme. Eigenlijk is alles magnetisme. Behalve de zwaartekracht (Het Higgs-deeltje is daarin belangrijk: als ze dat hebben gevonden – bij   CERN bijvoorbeeld – dan zullen ze de zwaartekracht begrijpen). Die unifying theory zelf is in wiskundige taal beschreven. Dus: waar komt kennis uiteindelijk vandaan? De set-theorie is uiteindelijk de enige plek waar iets nieuws bedacht werd. Uit de zeven ZFC-axioma’s komt verder alles voort. Van de Big Bang tot dat u nu dit stukkie tegen heug en meug zit te lezen: alles kan uitgelegd (en zelfs in zekere zin voorspeld?) worden door de ZFC axioma’s van de set theory.

Terug naar onze heterologie. Het heeft een duidelijke parallellie met de paradox van Russell. Een heterologie is een woord dat zichzelf niet beschrijft. Het woord heterologie zelf is een woord dat zichzelf wel en niet beschrijft. Een logicus zou zeggen: de definitie van heterologie is inconsistent. Degene die met de zeven axioma’s een set kan maken die tot een contradictie leidt heeft de set-theorie onderuit gehaald. Die is dan, samen met Cantor en Russell, redelijk geniaal. Ik zou zeggen: zet ‘m op.

(Bovenstaande afbeelding is afkomstig van xkdc.)

14 responses

  1. Het werd al te moeilijk voor me toen je zei dat het woord autologie zelf ook een autologie is. Ik probeerde het te begrijpen maar kreeg er hoofdpijn van. Verder zeer interessant stuk, filosofieen over sets en paradoxen zijn altijd leuk (“Godel, Escher, Bach” is een goed boek daarover, of “The Shadow of the Mind” (wel fucking moeilijk), of “PopCo” (luchtig boek, wat dubieus einde, verder wel leuk en vol van dit soort geintjes).
    Overigens, is het niet het “x-deeltje” maar het Higgs-deeltje (naar de Engelse natuurkundige Peter Higgs), en het is niet direct gerelateerd aan de zwaartekracht, maar meer aan waarom deeltjes massa hebben (die voelen natuurlijk wel de zwaartekracht, maar die kracht komt weer ergens anders vandaan, niet van de Higgs).

  2. Je kan ook logicomix lezen hierover (is met plaatjes, isjleuk). Maar daarin lijkt het of Russell de smart guy is, maar van Hofstadter heb ik geleerd dat Gödel veel slimmer was.

  3. uh.. 31? Maar serieus: leuk stukkie. Alleen als je helemaal zen bent bestaan er geen paradoxen, of beter gezegd, je komt in in een extra-logisch domein terecht waar de paradox het kind aan huis is.

    Nu is het niet heel moeilijk om buiten de kaders van het verstand te geraken, maar wel om de inzichten van buiten het verstand terug te vertalen naar een coherente verhaal dat die set theorie onderuithaalt. Ik ben daar in ieder geval niet slim genoeg voor( of juist slim genoeg om het niet te proberen)

    Russel ( waar ik btw een groot bewonderaar van ben) was natuurlijk niet zen, daarom heeft hij met zijn hoge intellect een grote puinhoop van zijn leven gemaakt.

  4. Oh oh. Nu moet ik dit gaan analyseren. Eerlijk gezegd twijfelde ik ook al of autologie zelf een autologie is. Een autologie is een woord dat zichzelf beschrijft. De andere voorbeelden die je geeft zijn bijvoeglijke naamwoorden (Engels, kort), daarom is de definitie makkelijk toe te passen. Autologie is een zelfstandig naamwoord. Zijn er andere zelfstandige naamwoorden te bedenken die een autologie zijn? Ik denk het op het eerste gezicht niet. Behalve misschien het woord “woord”. Alle mogelijke autologien die een zelfstandig naamwoord zijn, moeten op de een of andere manier een woord beschrijven. Als “zelfstandig naamwoord” een woord was, zoals bijvoorbeeld in het Duits (Substantiv), dan was het een autologie.
    En nu autologie zelf. Autologie is een woord dat een woord beschrijft dat zichzelf beschrijft. Dat is iets anders dan een woord dat zichzelf beschrijft. Ergo: autologie is geen autologie.

    Morgen doe ik de rest van het stukkie. Of overmorgen.

  5. Waarmee we natuurlijk in een logisch dilemma komen, want de uitspraak “autologie is geen autologie” lijkt inconsistent. Maar dat is hij niet. Het probleem ontstaat doordat we de betekenis van het woord substitueren voor het woord zelf.

    Laten we teruggaan naar het begin van het stukkie. Daar staat: “Een autologie is een woord dat zichzelf beschrijft”. Daaruit zou je kunnen concluderen dat het woord “autologie” een autologie is, maar dat is alleen omdat de omschrijving niet precies genoeg is. De omschrijving zou moeten zijn “Een woord dat een autologie is, is een woord dat zichzelf beschrijft”. Het woord “autologie” zelf is iets anders dan een ander woord dat een autologie is. Maar in de eerste, niet-precieze zin, doen we alsof het hetzelfde is.

    krrr…

  6. Heelal vond ik ook altijd een mooie autologie. Totdat ik laatst las dat er iemand de mogelijkheid van een tweede heelal opperde, tweelal?

  7. Wat is dan de definitie van een autologie? Als in: ‘Een autologie is…’ Als je niet kunt zeggen ‘Een autologie is een woord dat zichzelf beschrijft’, wat moet je dan zeggen?

    Een woord dat zichzelf beschrijft noemen we een autologie.

    Zelfstandige lijkt mij trouwens een zelfstandig naamwoord dat je een autologie kunt noemen. Zelfstandig naamwoord zou je op z’n minst een autologisch begrip moeten noemen. Of een autologische woordcombinatie.

    Volgens wikipedia, zie ik net, is naamwoord trouwens ook autologisch: http://nl.wikipedia.org/wiki/Autologie

    Volglens diezelfde wikipedia is een autologie een ‘studie die op zichzelf betrekking heeft’. Nu vind ik dat een vrij vage beschrijving, omdat ik niet goed weet hoe ik het woord ‘studie’ moet interpreteren.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Verplichte velden zijn gemarkeerd met *